Вопрос 2. Понятие квантового резистора. Резонансное туннелирование.

 

Квантовый резистор — "точечный" контакт двух резервуаров носителей заряда, ток между которыми идет за счет туннелирования частиц.

Упрощенная схема квантового резистора показана на Рис. 6.1.

Рис. 6.1. Обозначения: 1,2, — исток и сток зарядов (массивные проводники); 3 — квантовый барвер;
4 — квантовые проволоки (каналы). Предполагается, что в двумерной яме
канала имеется толвко один невырожденный уровенв энергии е.

 

Для определенности будем считать, что ϕ₁ > ϕ₂ и обозначим через V = ϕ₁ — ϕ₂ разность потенциалов, приложенную к квантовому резистору. Для простоты пред-положим, что резервуары изготовлены из одинакового металла.

Если dN₁(E) и dN₂(E) — средние числа электронов с энергией в интервале dE, проходящих через барьер слева и справа за одну секунду, то ток через барьер равен

Имеем (множитель 1/2 учитывает то, что канале только половина электронов с энер­гией Е движется к барьеру)

Здесь T(E) — коэффициент прохождения барьера электроном (вероятность прохождения), S — площадь сечения канала, υ(E) — скорость электрона с энергией E, ν(E) — энергетическая плотность электронных состояний в одномерном канале, f_i(E) — функции распределения электронов в резервуарах. Таким образом, выражение (6.3) для тока приводится к виду

Напомним, что плотность электронных состояний в квантовой проволоке с одной подзоной дается формулой (см. лекцию 5)

 

 

Учитывая очевидные соотношения p(E) =  и υ(E) = p(E)/m*, удобно записать плотность состояний в канале как

 

Подставляя это выражение в (6.4), получим

 

 

В резервуарах электрохимические потенциалы разные. Поэтому

 

f₁(E)=f(E+eφ₁),           f₂(E)=f(E+eφ₂),

где f(E) — равновесная функция распределения при нулевой разности потенциалов.

Считая, что ϕ₁ и ϕ₂ малы, запишем

 

 

Следовательно, в линейном приближении по V = ϕ₁ — ϕ₂ имеем

 

 

Это выражение нужно подставить в формулу (6.6) для тока.

Введем проводимость  и сопротивление  резистора:

 

Теперь из (6.6) получаем

 

 

● При разумных температурах T«E_F производная ∂f(E)/∂E отлична от нуля лишь в малой окрестности энергии Ферми. Поэтому с хорошей точностью в (6.8) можно положить
T(E)≈T(E_F). В результате для проводимости кванто­вого резистора получается простая формула

 

● Удивительно, что , когда T = 1, т.е.  когда барьер полно­стью прозрачен!

   Объяснение следующее. Между каналами и резервуарами имеется контакт­ная разность потенциалов. Иначе говоря, сопротивление всего резистора есть сумма сопротивлений , где первое слагаемое — сопротивле­ние барьера, а второе слагаемое — суммарное сопротивление двух идеальных контактов между каналами и резервуарами. Можно показать, что

Тогда .

Отсюда следует формула Ландауэра для проводимости квантового ба­рьера (1957 г.)

Ясно, что  при T→1 (или R→0).

● В формулу (6.9) входит универсальная величина –квантовое сопротивление идеального соединения двух металлов:

 

 

Почему столь большое сопротивление не наблюдается в контактах между ме­таллами? Дело в том, что реальные контакты имеют большую площадь. По­этому квантовое сопротивление (как параллельное соединение огромного чис­ла одномерных каналов) можно оценить как , где S — площадь контакта, λ — длина волны де Бройля электронов проводимости. В таких случаях  ничтожно мало по сравнению с полным сопротивлением контакта.

 

Последовательное соединение квантовых резисторов. Резонансное туннелирование.

Рассмотрим теперь проводимость квантового резистора (см.  Рис.  6.2.), состоящего из двух близко расположенных барьеров.

Рис. 6.2. Последовательное соединение квантовых резисторов.

 

Для простоты будем считать, что барьеры прямоугольные и расстояние между ними равно d (см. Рис. 6.3.).

Рис. 6.3.

На Рис. 6.3. обозначены амплитуды волн де Бройля непосредственно перед и за барьерами. Для прямоугольных барьеров можно записать соотношения между амплитудами внутри ямы:

 

В₂=В₁е^iα,         C₂=C₁е^-iα,                                                       (6.13)

 

где      α=kd,

 

Нас интересует амплитуда D, так как коэффициент прохождения частицей всей си­стемы

 

T₁₂=|D|².                                                                     (6.14)

 

● Движение электрона через систему, изображенную на Рис. 6.1. можно рассмат­ривать как последовательное прохождение двух барьеров (амплитуды внутри ямы берутся как амплитуды асимптотических состояний — см. лекцию 4).

 

Используем обозначения амплитуд из лекции 4 (штрихованные амплитуды соот­ветствуют прохождению и отражению при движении электрона справа налево):

 - амплитуды для барьера 1

 - амплитуды для барьера 2

 

Как известно из общей теории одномерного движения (прохождения и отражения),

 

.

 

Замечание: и   имеют разные фазы.

Тогда получаем соотношения на первом барьере:

 

A = r₁+t₁C₁,        B₁ = t₁ + C₁,                                          (6.15)

 

и на втором барьере: C₂=r₂B₂,         D=t₂B₂.

 

Исключая здесь C₂ и B₂ с помощью (6.13), получим

 

C₁е^-iα=r₂B₁e^iα, D=t₂В₁е^iα.                                                      (6.16)

 

Решая систему уравнений (6.15) и (6.16) (оставляем это читателю в качестве упраж­нения), находим

 

 

а затем — коэффициент прохождения (6.14):

 

 

где

 

Обсуждение:

● Вспоминая выражение для α, запишем

 

Из (6.19) видно, что коэффициент прохождения T₁₂(E),как функция энергии, может иметь минимумы и максимумы — резонансное туннелирование.

Максимумам T₁₂ соответствуют значения θ≈2πn. Если θ₀ мало по сравнению с kd, то условие максимумов имеет вид:

k_nd ≈ πn, n=1, 2, 3, …

 

Если в яме есть дискретные уровни энергии (точнее, квазиуровни, так как частица может уйти из ямы в результате туннелирования), то максимумы T₁₂(E) должны наблюдаться при значениях E, близким к этим уровням.

 

● Энергию электрона менять трудно (для металлических контактов E ≈ E_F), но можно управлять k, подавая к яме так называемое “запирающее напряжение” V_зап. Тогда

 

Меняя V_зап, можно получать чередование максимумов и минимумов T₁₂.

 

•  Поскольку T₁₂ определяет проводимость (сопротивление), будут наблюдаться минимумы и максимумы  системы из пары барьеров.

•   Экспериментально резонансное туннелирование через последовательные соединения квантовв1х резисторов наблюдается в квантовых точках и слоистых наноструктурах (между двумерными электронными газами).