Билет 3 Вопрос 2

 

Полупроводники.

Общие представления

К полупроводникам относят вещества, в которых в равновесии при температуре Т=0 заполненные электронные со­стояния отделены от незаполненных запрещенной зоной с шири­ной, меньшей 3 эВ. При большей ширине запрещенной зоны ве­щество относят к диэлектрикам, хотя иногда и называют широкозонным полупроводником. Последняя заполненная электронная зона называется валентной, а первая незаполненная зона - зоной проводимости. Ширина запрещенной зоны E_g - это разница энер­гий электронных состояний, отвечающих минимуму энергии в зоне проводимости и максимуму энергии в валентной зоне, соот­ветственно.

Если эти состояния отвечают одному и тому же значению волнового вектора (рис.20 а) то щель (запрещенная область энер­гий) называется прямой (d), а если разным значениям (рис.20 б), то непрямой (i).

Ниже приведена таблица, характеризующая тип щели для наиболее часто встречающихся полупроводников:

 

 

 

 

Концентрация собственных носителей заряда

 

При Т=0 в равновесии носители заряда (далее НЗ) в идеаль­ном полупроводнике отсутствуют, и его электропроводность рав­на нулю. При Т≠0  некоторое количество электронов возбуждает­ся тепловым образом из валентной зоны в зону проводимости. При переходе одного электрона возникает пара квазичастиц: электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне, которые являются НЗ и называются собственными НЗ.

Электронные возбуждения сосре­доточены в полосе энергий шириной порядка Т вблизи дна зоны проводимости, а дырочные возбуждения в такой же полосе вбли­зи потолка валентной зоны.

Плотность электронных состояний вблизи дна зоны проводимости имеет следующий вид для ε >Еg:

 

Найдем концентрацию электронных возбуждений при температуре Т по формуле:

 

 

где F₀(ε) - функция распределения Ферми-Дирака.

Получившийся интеграл представляет собой гамма-функцию от аргумента 3/2 и равен . Следовательно:

Концентрация дырок:

Перемножая n_e и n_h, получим выражение, справедливое в равновесном состоянии и для легированного полупроводника:

 

 

 

 

 

 

При комнатной температуре:

в германии и в кремнии, соответственно.

 

Для собственных НЗ справедливо условие электронейтраль­ности n_e=n_h

Нельзя создать отдельно электрон или дырку. При тепловом воз­буждении рождается электрон-дырочная пара.

Значение химпотенциала:

 

Таким образом, при Т=0 уровень Ферми в собственном по­лупроводнике (в полупроводнике с преобладанием собственных НЗ) расположен посередине запрещенной зоны. С ростом темпе­ратуры он сдвигается к той зоне, в которой эффективная масса носителей меньше.

 

Примесные носители заряда

 

Пусть теперь в полупроводник введен донор, то есть при­месь замещения, обладающая большой валентностью: например в четырехвалентный германий или кремний - пятивалентная при­месь мышьяка. Четыре электрона из пяти, присутствующих на внешней незаполненной оболочке атома примеси, образуют кова­лентные связи с ближайшими атомами матрицы. Оставшийся пя­тый электрон в основном состоянии локализован на примеси и не является носителем заряда. Однако оторвать его от примеси и сделать делокализованным, то есть описывающимся блоховской волновой функцией, значительно проще, чем разрушить кова­лентную связь и высвободить электрон из нее.

На языке энергетической диаграммы (рис. 21 а) это означает, что энергетический уровень электрона на примеси лежит в за­прещенной зоне, и разность энергий между дном зоны проводи­мости и этим уровнем с энергией ε _d меньше (а иногда и сущест­венно меньше), чем ширина запрещенной зоны. При возбуждении электрона с примесного уровня в зону проводимости возникает НЗ - электрон, а донор из нейтрального становится положительно заряженным. Такой НЗ называется примесным.

Если же мы введем в кристалл акцептор, то есть примесь за­мещения с меньшей валентностью, например, трехвалентный индий в кристалл германия или кремния, то возникнут только три ковалентные связи с ближайшими атомами матрицы. Для образования четвертой ковалентной связи не хватает электрона. Поэтому примесь готова принять электрон, отобрав его у атома матрицы.

 

 

На энергетической диаграмме (рис. 21 б) это можно изобра­зить следующим образом: незаполненный уровень акцептора с энергией ε_а расположен внутри запрещенной зоны, и возбудить электрон из валентной зоны на этот уровень значительно проще, чем в зону проводимости. При таком процессе в валентной зоне возникает НЗ - дырка, а акцептор становится отрицательно заря­женным.

Таким образом, в полупроводнике, который содержит доно­ры или акцепторы, имеются и собственные, и примесные НЗ. По­скольку для создания примесного НЗ требуется меньшая энергия, в области низких температур преобладают примесные носители (примесный полупроводник).

С ростом температуры могут начать преобладать собственные НЗ. Полупроводник из примесного мо­жет стать собственным. Характерная температура перехода зави­сит от концентрации доноров (акцепторов), положения примесно­го уровня и ширины запрещенной зоны. Она может оказаться больше комнатной (и даже температуры плавления полупровод­ника). Нас интересует, какой тип носителей преобладает в рабо­чем диапазоне температур. Если преобладает примесные НЗ элек­тронного типа, то полупроводник называют полупроводником п – типа, а если примесные носители дырочного типа - то полупро­водником р – типа.

Условие электронейтральности в присутствии доноров и (или) акцепторов имеет следующий вид:

Где N_d^ион и N_а^ион концентрации ионизованных (заряженных) доноров и акцепторов, соответственно.

При Т=0 уровень Ферми расположен посередине между донорным уровнем и дном зоны проводимости (рис. 21 а), а с ростом температуры он сдвигается вниз к середине запрещенной зоны. Подставляя значение μ, находим концентрацию примес­ных носителей в полупроводнике n – типа

Таким образом, при Т=0 уровень Ферми расположен посередине между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны (рис. 21 б), а с ростом температуры он сдвигается вверх к середине запрещенной зоны.

Концентрация примесных НЗ в полупроводнике p-типа равна

Рассмотрим качественно еще несколько вариантов. Что будет, если донорный уровень расположен выше дна зоны проводимости? В этом случае уже при Т=0 доноры ионизуются, а электроны пере­ходят в зону проводимости, образуя частично заполненную зону с соответствующей поверхностью Ферми. Такой полупроводник на­зывается вырожденным полупроводником n-типа. Аналогичная си­туация возникает в полупроводнике р-типа, когда акцепторный уровень расположен ниже потолка валентной зоны. Тогда часть электронов, обладающих при Т= 0 наибольшей энергией, переходит на акцепторный уровень, валентная зона оказывается частично за­полненной, и в ней возникает дырочная поверхность Ферми.

Если же ввести в полупроводник и доноры, и акцепторы, причем ε_d > ε_a электронам с доноров выгодно перейти на акцепторы. При этом они понижают свою энергию. Если N_d > N_a, то окажутся ионизованными все акцепторы и часть доноров (N_d^ион= N_d^ион= N_а). В противном случае (N_d < N_a) ионизованы все доноры и часть акцепторов: N_d^ион= N_d^ион= N_а. В результате в полупроводнике возникает большое число заряженных примесей - ионизованных доноров и акцепторов. Такой процесс называется компенсацией, а полупро­водник - компенсированным. В области компенсации концентра­ция носителей ниже, чем n и p пространственных областях.

 

Подвижность носителей

 

Электропроводность вещества пропорциональна числу НЗ, поэтому наблюдаемая в эксперименте температурная зависимость электропроводности полупроводника обусловлена, в основном, экспоненциальной зависимостью числа НЗ.

Для описания процесса перемещения отдельного НЗ в элек­трическом поле вводят характеристику, называемую подвижно­стью. Она определяется как коэффициент пропорциональности между величиной скорости направленного движения НЗ |<>| и

величиной напряженности электрического поля  (в изотропном случае направление скорости параллельно или антипаралельно направлению поля в зависимости от знака носителя):

Используя соотношение  = nq<>, где  - плотность электри­ческого тока, п - концентрация носителей, a q- заряд носителя, полу­чаем соотношение между электропроводностью и подвижностью:

В случае наличия нескольких сортов НЗ их вклады в элек­тропроводность складываются.

По порядку величины подвижность НЗ можно оценить как

где т - эффективная масса носителя а τ - время его свободного пробега (время релаксации по импульсу).

Так как в полупроводнике число НЗ невелико то столкнове­ния между ними маловероятны (в отличие от металлов). Поэтому основную роль в процессах релаксации НЗ играет их взаимодей­ствие с примесями (область низких температур) или с фононами (область высоких температур). Оба этих вклада в сопротивление аддитивны как и в случае металлов.

При Т >>θ_D, когда рассеяние на фононах играет определяющую роль, подвижность НЗ

При низкой температуре (T<<θ_D) основную роль в процессах рассеяния НЗ начинает играть примесное рассеяние.

 

Общий вид температурной зависимости подвижности НЗ приведен на рис.23.

ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Эффект Холла

 

На носите­ли заряда в магнитном поле действует сила Лоренца

где q - заряд носителя,  - его скорость, а  - магнитная индук­ция в месте нахождения носителя. В отсутствие тока, в силу хао­тичности движения НЗ, какого-либо их перераспределения под действием силы Лоренца не происходит, хотя траектории движе­ния НЗ изменяются (искривляются). При протекании тока сред­няя скорость НЗ отлична от нуля и равна

где  - плотность тока, п - концентрация НЗ. Поэтому в магнит­ном поле возникнет холловская составляющая тока, перпендику­лярная направлению  при  = 0.

В рассматриваемой нами про­стой геометрии эксперимента, когда напряженность приложенно­го электрического поля  B (рис.24) и постоянный ток в направлении, перпендикулярном , течь не может, включение магнитного поля приведет к появлению на поверхности провод­ника электрических зарядов. Холловский ток после переходного процесса исчезнет, но возникнет холловская напряженность элек­трического поля . Значение ее таково, что сила, с которой это поле действует на НЗ q, полностью компенсирует действие силы Лоренца. Следовательно,

где

- постоянная Холла. Измеряя разность потенциалов между край­ними точками поперечного сечения проводника U_н = E_Hd (смотри рис. 24), можно, зная j и В, найти концентрацию НЗ в по­лупроводнике.

Более того, НЗ разного знака отклоняются магнитным полем при заданном направлении j в одну и ту же сторону, смотри рис.25. Поэтому полярность возникающего напряжения свидетельствует о знаке НЗ.

Приведенное выше простое рассмотрение эффекта Холла не требует привлечения кинетического уравнения Больцмана. Одна­ко оно не дает ответа на вопрос: а изменилось ли сопротивление проводника в магнитном поле, или, другими словами, имеется ли продольное магнегосопротивление Δр, которое определяется как

где р₀ - удельное сопротивление в отсутствие магнитного поля, а (В) - продольное удельное сопротивление, то есть коэффици­ент пропорциональности между  и  (Е₀=(В)j), индекс оз­начает параллельность направлению тока.

 

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать кине­тическое уравнение Больцмана.

(подробности смотри в книге Морозова на странице)

В приведенной модели в книге Морозова магнетосопротивление отсутствует.

Для перпендикулярной  Холловской составляющей  получается: E_H=R_HB_J

R_H – постоянная Холла.

 

В двухзонной модели магнетосопротивление ≠ 0. (вывод в книге Морозова)

Следовательно, в области больших магнитных полей вели­чина магнетосопротивления выходит на постоянное значение.

 

Общий вид зависимости

Рис. 27. Зависимость магнетосопротивления от индукции прило­женного магнитного поля

 

ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Механизмы поглощения

 

Рассмотрим сначала возможность двухчастичного процесса, в котором квант света - фотон поглощается электроном. Такой процесс невозможен в случае свободных электронов (или любых других свободных заряженных частиц), так как он противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, пусть в процессе выполняется закон сохранения энергии, и энергия элек­трона возросла в результате поглощения на энергию фотона. При этом его импульс должен возрасти на величину ħω/v, где v - характерная скорость электрона. Но фотон обладая импульсом ħω/c, где с - скорость света. Поскольку v<<c (для энергии атомно­го масштаба скорость электрона v~10^-2c), то закон сохранения импульса удовлетворить невозможно.

Основываясь на таком простом рассмотрении, можно сфор­мулировать условие, при котором возможен двухчастичный про­цесс поглощения (и обратный ему процесс испускания): начальное заполненное и конечно пустое состояния электрона должны соответствовать практически одному и тому же значению волнового вектора (импульса), то есть принадлежать разным электронным зо­нам. Такие переходы называют прямыми или вертикальными.

Рассмотрим, что же будет происходить при облучении без­дефектного полупроводника с температурой Т<<Eg электро­магнитной волной с частотой ω (потоком фотонов). Если энергия кванта hω < Eg, то поглощение отсутствует. Значение является в случае полупроводника с прямой щелью красной гра­ницей внутреннего фотоэффекта и называется краем собственно­го поглощения. При ω = ω_c электрон может перейти из состоя­ния, лежащего вблизи максимума валентной зоны, в состояние, расположенное вблизи минимума зоны проводимости. Если же ω = ω_c, то переходы происходят между состояниями, лежащими в этих двух зонах, отвечающими практически одному и тому же значению волнового вектора  и удовлетворяющими закону со­хранения энергии

где ε_c() и ε_v() - законы дисперсии электрона в зоне прово­димости и валентной зоне, соответственно. Эти переходы изо­бражены на рис.28а стрелкой. Зависимость коэффициента погло­щения электромагнитной волны от частоты изображена на рис.29а.

 

Если же щель непрямая, то двухчастичный процесс становится возможен при

Где минимум по  берется по первой зоне Бриллюэна. Этот процесс изображен на рис. 28б.

Если двухчастичные процессы запрещены, то основной вклад в поглощение дают трехчастичные процессы, при которых поглощение электроном фотона сопровождается испусканием или поглощением третьей частицы, что позволяет удовлетворить обоим законам сохранения. Роль этой третьей частицы играетфонон - квант колебаний решетки. Вероятность таких процессов, называемых также непрямыми и невертикальными, намного ни­же, чем двухчастных.

Именно такими трехчастичными процессами обусловлено поглощение при переходах электрона между состояниями одной зоны. Непрозрачность металлов обусловлена именно трехчастич­ными процессами. Поскольку в металлах заполненные и пустые состояния не разделены энергетической щелью, то поглощение начинается со сколь угодно низких частот. Вклад свободных но­сителей заряда в оптическое поглощение полупроводников мал из-за их низкой концентрации.

В полупроводниках с непрямой щелью трехчастичный процесс поглощения электроном фотона и фонона начинается с частоты

Где ω_ph() закон дисперсии фононов, a q - волновой вектор, равный разности векторов, соответствующих максимуму валент­ной зоны и минимуму зоны проводимости. Зависимость коэффи­циента поглощения от частоты в случае полупроводника с не­прямой щелью изображена на рис.29б.

В германии и кремнии ω_с лежит в инфракрасном диапазоне, поэтому они выглядят непрозрачными. В диэлектрике ω_с лежит в ультрафиолетовом диапазоне, поэтому диэлектрик без примесей будет прозрачным и неокрашенным (как алмаз).

 

Окраска прозрачных драгоценных камней обусловлена при­месями. Если в полупроводнике или диэлектрике имеются донорные или акцепторные примеси, то возможны переходы элек­тронов из валентной зоны на акцепторный уровень или с донорного уровня в зону проводимости при поглощении ими фотонов с частотой ω < ω_с. При этом закон сохранения импульса выполня­ется, так как при взаимодействии с дефектом недостающий им­пульс получается (передается) от кристалла в целом.

Коэффициент поглощения зависит от концентрации приме­сей, а окраска кристалла - от положения примесных уровней в за­прещенной зоне. Так рубин и сапфир - это разновидности корун­да (А1₂O₃), содержащие примеси Cr^{3 +} в первом случае и Fe³⁺ и Ti⁴⁺ - во втором.

Кроме того, примесь может играть роль той третьей частицы, взаимодействие с которой делает возможным непрямой переход.

Наряду с рассмотренными процессами существует меха­низм поглощения, обусловленный взаимодействием фотона с фононом (фононами), так называемое решеточное поглощение.

 

Рекомбинация НЗ

 

Что же происходит в дальнейшем с возникшей парой НЗ (электроном в зоне проводимости и дыркой в валентной зоне)? За счет взаимодействия с фононами они теряют свою избыточную энергию (если их кинетическая энергия при рождении превышает Т), и их распределение становится квазиравновесным, то есть рас­пределение электронов в зоне проводимости (или распределения дырок в валентной зоне) описывается распределением Ферми-Дирака с неравновесным, вообще говоря, значением химического потенциала μ. Таким образом, за характерные времена электрон-фононного взаимодействия ~10^-13 с электроны сосредотачивают­ся в пояске шириной порядка Т вблизи дна зоны проводимости, а дырки - в таком же пояске вблизи потолка валентной зоны.

За столь малое время количество электронов и дырок прак­тически не изменяется. Это происходит за существенно большее время, называемое временем рекомбинации.

В чем же состоит процесс рекомбинации? Рекомбинация яв­ляется процессом, обратным процессу генерации НЗ. При реком­бинации электрон и дырка исчезают, передавая свою энергию ка­кой-либо частице. Этой частицей может быть фотон, такую ре­комбинацию называют излучательной. Поскольку все электроны сосредоточены вблизи дна зоны проводимости, а дырки - вблизи потолка валентной зоны, то излучательная рекомбинация без участия каких-либо других частиц возможна только в прямозон­ных полупроводниках, где возможно удовлетворить в таком про­цессе законам сохранения. При этом излучение будет происхо­дить на частоте, близкой к ω_с.

Следовательно, если мы будем генерировать НЗ в прямо­зонном полупроводнике излучением на частоте ω >ω_с, то он бу­дет излучать на другой частоте ω’≈ω_c . Это явление называется фотолюминесценцией.

Если же полупроводник непрямозонный, то излучательная рекомбинация невозможна без участия третьей частицы. Такой частицей может быть примесь (рекомбинация Холла - Шокли - Рида). Сначала примесь захватывает один из пары рекомбини­рующих НЗ, а затем второй. В результате энергия электрон-дырочной пары уносится фотоном, а импульс передается кри­сталлу в целом.

Возможна безизлучательная рекомбинация, при которой энергия и импульс электрон-дырочной пары передаются другому НЗ (рекомбинация Оже).

В прямозонном полупроводнике InSb время излучательной рекомбинации при комнатной температуре составляет 6*10^-7 с, а в непрямозонных полупроводниках кремнии и германии 3 часа и 0,43 с, соответственно. Введение в Ge примесей золота с концен­трацией 10^-7 уменьшает время излучательной рекомбинации до 10^-8 - 10^-9 с за счет процессов Холла-Шокли-Рида.

 

Диффузионный и дрейфовый токи. P-n переход.

 

До сих пор при рассмотрении явления электропроводности мы ограничивали себя случаем однородного вещества. Для соз­дания тока в нем требовалось наличие внешней силы, действую­щей на НЗ. Ток, вызванный такой причиной, называется дрейфо­вым. Например, в случае наличия электрического поля плотность дрейфового тока в изотропном веществе равна

_др = σ = |q|γn,

где q - заряд носителя, п и γ - их концентрация и подвижность, соответственно,
 - напряженность электрического поля, а σ -электропроводность вещества. Эта формула нам хорошо знакома, только плотность тока мы не называли дрейфовой.

Дело в том, что в однородном веществе другой, диффузион­ной составляющей тока не было и плотность тока, равная сумме этих составляющих:

совпадала с _др.

В неоднородном веществе концентрация НЗ в разных точках пространства может различаться. В этом случае диффузия НЗ, вызванная их хаотическим движением, приводит к возникнове­нию потока НЗ. Плотность потока частиц  рав­на, согласно закону Фика

где D - коэффициент диффузии частиц. Знак минус означает, что поток направлен навстречу градиенту концентрации, то есть из области, где концентрация частиц велика, в область, где она мала. Действительно, в результате хаотического теплового движения из области с высокой концентрацией к области низкой концентра­ции идет поток частиц. Встречный поток частиц из области низ­кой концентрации не так велик, так как плотность потока пропорциональна концентрации. В результате суммарный поток имеет указанное направление.

Так как НЗ обладают электрическим зарядом, их поток со­провождается переносом заряда, то есть возникает диффузион­ный электрический ток. Его плотность равна

Согласно соотношению, предложенному Эйнштейном, ко­эффициент диффузии классических частиц выражается через их подвижность

    (9.15)

Тот факт, что DТ очевиден, так как диффузия вызвана хаоти­ческим тепловым движением, мерой энергии которого и является температура. Учитывая соотношение (9.15) и выражая  через потенци­альную энергию НЗ w в электрическом поле

полу­чаем для полной плотности тока:

Где

В условиях равновесия концентрация носителей описывает­ся распределением Больцмана:

            (9.18)

где

Поэтому в равновесии

             (9.19)

и после подстановки (9.19) в (9.16) получаем =0. В то же время диффузионный и дрейфовый токи по отдельности в неоднород­ной среде отличны от нуля и в равновесии.

Рассмотрим такую ситуацию на примере р-п перехода, то есть контакта между областями полупроводника, первая из кото­рых легирована акцепторами, а вторая донорами.

Представим себе мысленно, что до момента времени t=0 эти области были разобщены, а затем приведены в соприкосновение (в реальной жизни такая процедура невозможна). Поскольку кон­центрация дырок в p-области, где они являются основными носи­телями, существенно выше, чем в n-области, где они являются неосновными носителями, то возникнет поток дырок из р- области в n-область. С электронами ситуация противоположна, и поток электронов потечет из n-области в p-область. На границе областей будет происходить рекомбинация НЗ.

Результирующий диффузионный ток, складывающийся из диффузных токов дырок и электронов, пойдет из p-области в п- область. В результате в изначально нейтральном полупроводнике начнется перераспределение зарядов: n-область будет заряжаться положительно, а p-область - отрицательно. Возникшая разность потенциалов вызовет дрейфовый ток, который будет направлен навстречу диффузионному. Перераспределение зарядов будет происходить до тех пор, пока диффузионный ток не будет точно скомпенсирован дрейфовым. На переходной процесс уйдут ни­чтожные доли секунды.

В установившемся равновесии (в отсутствие внешнего на­пряжения на р-п переходе) суммарный ток через р-п переход ра­вен нулю, а диффузионный и дрейфовый токи противоположны и отличны от нуля. В результате на р-п переходе установилась кон­тактная разность потенциалов, такая, что химический потенциал р в обеих областях одинаков. Возникшая картина электронных зон изображена на рис. 37.

Если теперь приложить к внешним границам полупровод­ника постоянное напряжение так, что «плюс» придется на р- область, а «минус» - на n-область, то возникшее электрическое поле будет направлено навстречу равновесному. В результате дрейфовый ток уменьшится и станет по модулю меньше диффу­зионного. Через р-п переход потечет ток, созданный в каждой из областей основными НЗ и достигающий значительной величины («пропускное» направление тока).

Если же теперь изменить полярность приложенного напря­жения («+» - к n-области, «-» - к р), то созданное электрическое поле сложится с равновесным и «отгонит» основные носители от границы между областями (дырки - в глубь p-области, электроны - в глубь n-области). В результате ток основных носителей пре­кратиться. Весь перенос заряда будет происходить за счет неос­новных носителей. Дрейфовый ток в n-области будет обусловлен дырками, а в
p-области - электронами. Поэтому величина тока будет намного меньше, чем в предшествующем случае («непро­пускное» направление тока).