Билет №14

Кристаллические системы и типы решеток Браве.

Решеткой или системой трансляций Браве называется набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которыми может быть получена вся бесконечная кристаллическая решётка. Все кристаллические структуры описываются 14 решётками Браве, число которых ограничивается симметрией. Решетка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае, решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам. Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве.

Триклинная	1	П	$Описание: a \not= b \not= c; \alpha \not= \beta \not= \gamma$
Моноклинная	2	П, ОЦ	$Описание: a \not= b \not= c; \alpha = \gamma = 90^\circ \not= \beta$
Ромбическая	4	П, БЦ, ОЦ, ГЦ	$Описание: a \not= b \not= c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Тетрагональная	2	П, ОЦ	$Описание: a = b \not= c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Кубическая	3	П, ОЦ, ГЦ	$Описание: a = b = c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Тригональная	1	Р	$Описание: a = b = c; \alpha = \beta = \gamma < 120^\circ, \not=90^\circ$
Гексагональная	1	П	$Описание: a = b \not= c; \alpha = \beta = 90^\circ; \gamma = 120^\circ$

Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами. Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трехмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим $Описание: \vec a_1$ , $Описание: \vec a_2$ , $Описание: \vec a_3$ ).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу: $Описание: \vec a = n_1\vec a_1 + n_2\vec a_2 + n_3\vec a_3$ , где $Описание: n_1,\ n_2,\ n_3$ − произвольные целые числа. Получившаяся решётка - решётка Браве.

Элементарная ячейка решётки Браве - параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки $Описание: \Omega= \left( \vec a_1 \cdot \left[ \vec a_2 \times \vec a_3 \right] \right)$ не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося детерминанта относительно сложения и вычитания строк.

На элементарную ячейку решётки Браве приходится один узел.

Элементарную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

Элементарная ячейка обратной решётки в форме ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве - первая зона Бриллюэна.